Lớp 11

Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Thông qua bài học các em sẽ nắm được các dạng Phương trình lượng gác cơ bảncông thức nghiệm của chúng. Cùng với hệ thống bài tập minh họa có hướng dẫn giải sẽ giúp các em nắm vững nội dung bài học. Đây là bài toán nền tảng để các em học tiếp những dạng phương trình lượng phức tạp hơn hay giải một số dạng bài tập có liên quan đến lượng giác khác.

  • Nếu \(|a|>1\): Phương trình vô nghiệm.  
  • Nếu \(|a|\leq 1\):
    •  \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi – \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
    • \(\sin x = \sin {\beta ^0} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = {\beta ^0} + k{360^0}\\ x = {180^0} – {\beta ^0} + k{360^0} \end{array} \right.\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)
    • \(\sin x = a \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = arc\sin a + k2\pi \\ x = \pi – arc\sin a + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)​
  • Tổng quát: \(\sin f\left( x \right) = \sin g\left( x \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left( x \right) = g\left( x \right) + k2\pi \\ f\left( x \right) = \pi – g\left( x \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)   
  • Các trường hợp đặc biệt:

\(\begin{array}{l} \oplus \,\,\,\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \oplus \,\,\,\sin x = – 1 \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\\ \oplus \,\,\,\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right) \end{array}\)

Bạn đang xem: Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

1.2. Phương trình cosx= a 

  • Nếu \(|a|>1\): Phương trình vô nghiệm.  
  • Nếu \(|a|\leq 1\):
    • \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)
    • \(\cos x = \cos {\beta ^0} \Leftrightarrow x = \pm {\beta ^0} + k{360^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
    • \(\cos x = a \Leftrightarrow x = \pm \,arcc{\rm{os}}a + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
  • Tổng quát: \(\cos f\left( x \right) =\cos g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = \pm g\left( x \right) + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
  • Các trường hợp đặc biệt:

\(\begin{array}{l} \oplus \,\,\,\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\\ \oplus \,\,\,\cos x = – 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\\ \oplus \,\,\,\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \end{array}\)

1.3. Phương trình tanx= a 

\(\begin{array}{l} \oplus \tan x = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an}}\alpha \Leftrightarrow \,x\,{\rm{ = }}\,\alpha + k\pi \,\,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\\ \oplus \tan x = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an}}{\beta ^0} \Leftrightarrow \,x{\rm{ = }}{\beta ^0} + k{\rm{18}}{{\rm{0}}^0}\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \oplus \tan x = a \Leftrightarrow x{\rm{ = }}\arctan a\, + k\pi \,\,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right) \end{array}\)

  • Tổng quát: \(\tan f\left( x \right) = \tan g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

1.4. Phương trình cotx=a 

\(\begin{array}{l} \oplus \cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow {\rm{x}}\,\,{\rm{ = }}\,\alpha \,{\rm{ + }}\,{\rm{k}}\pi \,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \oplus \cot x = \cot {\beta ^0} \Leftrightarrow {\rm{x}}\,\,{\rm{ = }}\,{\beta ^0}{\rm{ + }}\,{\rm{k18}}{{\rm{0}}^0}\,\,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\\ \oplus \cot x = a \Leftrightarrow {\rm{x}}\,\,{\rm{ = }}{\mathop{\rm arc}\nolimits} \cot \,a\,{\rm{ + }}\,{\rm{k}}\pi \,\,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right) \end{array}\)

  • Tổng quát: \(\cot f\left( x \right) = \cot g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ví dụ 1:

Giải các phương trình sau:

a) \(\sin \left( {\frac{{2x}}{3} – \frac{\pi }{3}} \right)=0\).

b) \(\sin x = \sin \frac{\pi }{{12}}\).

c) \(\sin 3x = \frac{1}{2}\).

d) \(\sin x = \frac{2}{3}\).

Lời giải:

a) \(\sin \left( {\frac{{2x}}{3} – \frac{\pi }{3}} \right)=0\Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} – \frac{\pi }{3} = k\pi \Leftrightarrow \,\frac{{2x}}{3} = \frac{\pi }{3} + k\pi\)

\(\Leftrightarrow \,x = \frac{\pi }{2} + k\frac{{3\pi }}{2}\), \(k \in \mathbb{Z}.\)

Vậy phương trình có các nghiệm là: \(\,x = \frac{\pi }{2} + k\frac{{3\pi }}{2}\),  \(k \in \mathbb{Z}.\)

b) \(\sin x = \sin \frac{\pi }{{12}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\ x = \pi – \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\ x = \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\) và \(x = \frac{11\pi }{{12}} + k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.\) 

c) \(\sin 3x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ 3x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\ x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}, k \in \mathbb{Z}\) và \(x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}, k \in \mathbb{Z}\).

d) \(\sin x = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi \\ x = \pi – \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi,k \in \mathbb{Z}\) và \(x = \pi – \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}.\)

Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau:

a) \(\cos \left( {\frac{{3x}}{2} – \frac{\pi }{4}} \right) = – \frac{1}{2}\).

b) \(\cos \left( {x + {{45}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Lời giải: 

a) \(\cos \left( {\frac{{3x}}{2} – \frac{\pi }{4}} \right) = – \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{3x}}{2} – \frac{\pi }{4} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\ \frac{{3x}}{2} – \frac{\pi }{4} = – \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{11\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}\\ x = – \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3} \end{array} \right.{\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} k \in \mathbb{Z}.\)

Vậy phương trình có các nghiệm là: \({x = \frac{{11\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}}, k \in \mathbb{Z}\) và \({x = – \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}}, k \in \mathbb{Z}.\)

b) \(\cos \left( {x + {{45}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {x + {{45}^0}} \right) = c{\rm{os}}{45^0}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + {45^0} = {45^0} + k{360^0}\\ x + {45^0} = – {45^0} + k{360^0} \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = {45^0} + k{360^0}\\ x = – {90^0} + k{360^0} \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Vậy phương trình có các nghiệm là: \({x = {{45}^0} + k{{360}^0}}, k \in \mathbb{Z}\) và \({x = – {{90}^0} + k{{360}^0}}, k \in \mathbb{Z}.\)

Ví dụ 3:

Giải các phương trình sau:

a) \(\tan x = \tan \frac{\pi }{3}\).

b) \(\tan (x – {15^0}) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Lời giải: 

a) \(\tan x = \tan \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\)

b) \(\tan (x – {15^0}) = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow\) \(\tan (x – {15^0}) = \tan {30^0}\Leftrightarrow x = {45^0} + k{180^0} , k \in \mathbb{Z}.\)

Vậy các nghiệm của phương trình là \(x = {45^0} + k{180^0} , k \in \mathbb{Z}.\)

ví dụ 4:

Giải các phương trình sau:

a) \(\cot 4x = \,\cot \frac{{2\pi }}{7}\).

b) \(\cot 4x = – 3.\)

c) \(\cot \left( {2x – \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Lời giải: 

a) \(\cot 4x = \,\cot \frac{{2\pi }}{7}\) \(\Leftrightarrow 4x = \frac{{2\pi }}{7}\, + \,k\pi \Leftrightarrow \,x = \frac{\pi }{{14}} + \,k\frac{\pi }{4},\,k \in \mathbb{Z}.\)

Vậy các nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{\pi }{{14}} + \,k\frac{\pi }{4};\,k \in \mathbb{Z}.\)

b) \(\cot 4x = – 3 \Leftrightarrow 4x = \arctan \left( { – 3} \right) + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\arctan \left( { – 3} \right) + k\frac{\pi }{4},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Vậy các nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{1}{4}\arctan \left( { – 3} \right) + k\frac{\pi }{4},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

c) \(\cot \left( {2x – \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \cot \left( {2x – \frac{\pi }{6}} \right) = \cot \frac{\pi }{6}\)

\(\Leftrightarrow 2x – \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{6} + k\pi \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + k\pi\)

\(\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\)

Vậy các nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\)

3. Luyện tập Bài 2 chương 1 giải tích 11

Trong phạm vi bài học THPT Long Xuyên chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về phương trình lượng giác. Đây là một dạng toán nền tảng không chỉ trong phạm vi khảo sát hàm số lượng giác mà còn được ứng dụng trong việc giải phương trình lượng giác, sự đơn điệu của hàm số lượng giác,….các em cần tìm hiểu thêm.

3.1 Trắc nghiệm về phương trình lượng giác

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương 1 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

  • Câu 1:

    Giải phương trình \(\sin 4x = \sin \frac{\pi }{5}.\)

    • A.
      \(x = \frac{\pi }{{20}} + k\frac{\pi }{2};x = \frac{\pi }{5} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}.\)    
    • B.
      \(x = \frac{\pi }{{20}} + k\frac{\pi }{2};x = \frac{\pi }{{10}} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}.\)
    • C.
      \(x = \frac{\pi }{{10}} + k\frac{\pi }{2};x = \frac{\pi }{5} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}.\)
    • D.
      \(x = \frac{{3\pi }}{5} + k\frac{\pi }{2};x = \frac{\pi }{{10}} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}.\)
  • Câu 2:

    Giải phương trình \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{{18}}} \right) = \frac{2}{5}.\)

    • A.
      \(x =  \pm \arccos \frac{2}{5} – \frac{\pi }{{18}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
    • B.
      \(x =  \pm \arccos \frac{2}{5} + \frac{\pi }{{18}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
    • C.
      \(x =  \pm \arccos \frac{5}{2} – \frac{\pi }{{18}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
    • D.
      \(x =  \pm \arccos \frac{5}{2} + \frac{\pi }{{18}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
  • Câu 3:

    Giải phương trình \(\cos (x – 5) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) với \( – \pi 

    • A.
      \({x_1} = 5 – \frac{{11\pi }}{6};{x_2} = 5 – \frac{{13\pi }}{6}.\)
    • B.
      \({x_1} = 5 + \frac{{11\pi }}{6};{x_2} = 5 – \frac{{13\pi }}{6}.\)
    • C.
      \({x_1} = 5 – \frac{{11\pi }}{6};{x_2} = 5 + \frac{{13\pi }}{6}.\)
    • D.
      \({x_1} = 5 + \frac{{11\pi }}{6};{x_2} = 5 + \frac{{13\pi }}{6}.\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về hàm số lượng giác

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chương 1 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

4. Hỏi đáp về bài 2 chương 1 giải tích 11

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán THPT Long Xuyên sẽ sớm trả lời cho các em. 

Đăng bởi: THPT Long Xuyên

Chuyên mục: Giáo Dục Lớp 11

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!